數模轉換過程中的頻譜失真及其校正方法
1 數模轉換器（D／A）的數學模型［1］
設數字化信號處理系統的原始模擬輸入信號為xa（t），經過沖激采樣，得到理想采樣信號
式（1—1）中T為采樣的時間間隔。
（ω）是xa（ω）的周期重復，重復周期為采樣角頻率ωs。若模擬信號xa（t）＝sinω0t，采樣信號
及其頻譜如圖1—1a、圖1—1 b所示。圖中，信號頻率為0．1ωs，其它對稱于ωs、2ωs、3ωs等處的頻率成分為基帶信號的鏡象和諧波，幅值和基帶信號相同。如將采樣信號恢復為模擬信號，僅需濾除這些鏡象和諧波，保留基帶信號即可。在實際系統中，理想采樣信號通過A／D轉換器在t＝nT時刻量化為數據序列x（n），經D／A轉換器輸出，波形如圖1—2a所示。圖中波形可以看作是一系列矩形脈沖的順序排列組合，每一個矩形脈沖是D／A轉換器對輸入數據的沖激響應，故D／A轉換器的單位沖激響應為一高度為1，寬度為T的矩形脈沖，表示為
式（1-3）中，u(t-T)分別為t=0和t=T時刻的單位階躍函數。由此，D／A轉換器的輸出波形可由下式表達
D／A轉換器的頻率響應函數H（jω）為式（1—3）的傅里葉變換，即
當以時間間隔T向D／A轉換器傳遞數據序列x（n）時，可以認為式（1—1）所示的理想采樣信號作用在D／A轉換器的輸入端，其輸出信號的頻譜幅值為
D／A轉換器的頻率響應函數H（jω）為式（1—3）的傅里葉變換，即
當以時間間隔T向D／A轉換器傳遞數據序列x（n）時，可以認為式（1—1）所示的理想采樣信號作用在D／A轉換器的輸入端，其輸出信號的頻譜幅值為
和H（ω）的圖形分別如圖1—2b中實線和虛線所示。與圖1—1b中采樣信號的頻譜對比，D／A轉換器相當于一種非理想的低通濾波器。雖然不同程度地濾除了高頻端的諧波分量，但在
的有效頻帶內，濾波器的增益隨著頻率的增高而下降，造成信號的頻譜失真。 2 D／A轉換過程中頻譜失真的校正方法
針對D／A轉換器的頻響特性，校正網絡在0～
頻帶內應是一個高頻提升網絡。其頻響函數直接由式（1—6）導出
式（2—1）中略去了H（ω）的系數T。文中利用FIR型數字濾波器實現式（2—1）的校正特性。
FIR型數字濾波器的頻率采樣設計法可以實現任意的頻率響應特性。其基本的設計思想是對理想頻響特性Hd（ω）進行頻率取樣，然后對取樣值進行離散頻率、離散時間的傅里葉反變換，獲得濾波器的單位沖激響應h（n）。而濾波器計算公式為h（n）與輸入序列x（n）的離散卷積運算。
對于式（2—1）所示的理想特性，濾波器的單位沖激響應為
濾波器的輸出公式為
將單位沖激響應h（n）進行一次離散時間、連續頻率的傅里葉正變換，就得到連續頻率變量的濾波器頻響函數
取M＝20，由式（2—3）計算濾波器的沖激響應h(n)如圖2-1a所示。由式（2-6）計算0～范圍內的濾波器頻響特性如圖2—1b所示，其中虛線為D／A轉換器的頻響特性。將式（2—6）與式（1—6）相乘，得校正后0～3ωs范圍內濾波器和D／A轉換器的總頻響曲線，如圖2—1c所示，其通帶波動不超過1‰。
為檢驗實際校正的結果，設模擬輸入信號為雙頻信號
分別為1Hz和10Hz。取采樣頻率為25Hz，令采樣并量化的序列x（n）經式（2—4）校正運算后再由D／A轉換器輸出，則恢復的波形頻譜如圖2—1d所示。由圖2—1可見，在0
的頻率范圍內，頻譜已得到精確的校正，原始信號兩個頻率成分在經過A／D和D／A轉換后能夠保持精確的相等。
3 結束語
D／A轉換器是一個數字模擬混合器件。但在分析中，將以相等時間間隔鎖定到D／A轉換器的數據序列看作是理想采樣信號，從而導出了D／A轉換器的幅頻特性式（1—6）。說明了D／A轉換器可以看作是一種特殊的模擬低通濾波器。又根據式（1—6），直接寫出校正網絡理想化的傳遞特性式（2—1），由此利用頻率采樣法設計FIR校正濾波器，具有理想的頻譜校正效果。
范圍內的濾波器頻響特性如圖2—1b所示，其中虛線為D／A轉換器的頻響特性。將式（2—6）與式（1—6）相乘，得校正后0～3ωs范圍內濾波器和D／A轉換器的總頻響曲線，如圖2—1c所示，其通帶波動不超過1‰。為檢驗實際校正的結果，設模擬輸入信號為雙頻信號
分別為1Hz和10Hz。取采樣頻率為25Hz，令采樣并量化的序列x（n）經式（2—4）校正運算后再由D／A轉換器輸出，則恢復的波形頻譜如圖2—1d所示。由圖2—1可見，在0
的頻率范圍內，頻譜已得到精確的校正，原始信號兩個頻率成分在經過A／D和D／A轉換后能夠保持精確的相等。 3 結束語
D／A轉換器是一個數字模擬混合器件。但在分析中，將以相等時間間隔鎖定到D／A轉換器的數據序列看作是理想采樣信號，從而導出了D／A轉換器的幅頻特性式（1—6）。說明了D／A轉換器可以看作是一種特殊的模擬低通濾波器。又根據式（1—6），直接寫出校正網絡理想化的傳遞特性式（2—1），由此利用頻率采樣法設計FIR校正濾波器，具有理想的頻譜校正效果。
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